如图,抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.(1)若求直线AB的斜率;(2)设点M在线...
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如图,抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.
(1)若求直线AB的斜率;
(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.
【回答】
解:(1)依题意知F(1,0),设直线AB的方程为
x=my+1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立,
消去x得y2-4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
所以y1+y2=4m,y1y2=-4.①
因为,所以y1=-2y2.②
联立①和②,消去y1,y2,得m=±.
所以直线AB的斜率是±2.
(2)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,从而点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.因为2S△AOB=2×·|OF|·|y1-y2|=,所以当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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