如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为弧BE的中点．（1）试判断△ABC的...

问题详情：

如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为弧BE的中点．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）直线l切⊙O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F，点G． ①∠BAC=45°，求的值； ②若⊙O半径的长为m，△ABC的面积为△CDF的面积的10倍，求BG的长（用含m的代数式表示）．

【回答】

 解析：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下： 连接AD，如图1所示．  

∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC． ∵点D为弧BE的中点， ∴， ∴∠BAD=∠DAC， ∴∠ABD=∠ACD， ∴△ABC为等腰三角形． （2）①连接OD，如图2所示．  

∵直线l是⊙O的切线，点D是切点， ∴OD⊥GF． ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠BAD=∠DAC， ∴OD∥AC， ②过点B作BH⊥GF于点H，如图3所示．  

∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC， ∴BD=CD， ∴S △ABD=S △ACD． ∵S △ABC=10S △CDF， ∴S △ACD=5S △CDF， ∴AF=4CF． ∵BH∥AC， ∴∠HBD=∠C．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：简答题