已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．（...

问题详情：

已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．

（1）求*：DF是⊙O的切线；

（2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的*影部分面积．

【回答】

【解答】解：（1）如图，连接CD、OD，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，

又∵△ABC是等边三角形，

∴AD=BD，

∵BO=CO，

∴DO是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线；

（2）连接OE、作OG⊥AC于点G，

∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，

∴四边形OGFD是矩形，

∴FG=OD=4，

∵OC=OE=OD=OB，且∠COE=∠B=60°，

∴△OBD和△OCE均为等边三角形，

∴∠BOD=∠COE=60°，CE=OC=4，

∴EG=CE=2、DF=OG=OCsin60°=2，∠DOE=60°，

∴EF=FG﹣EG=2，

则*影部分面积为S梯形EFDO﹣S扇形DOE

=×（2+4）×2﹣

=6﹣．

【点评】本题主要考查了切线的判定与*质，等边三角形的*质，垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再*直线和半径的夹角为90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．

知识点：各地中考

题型：解答题