如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作...

问题详情：

如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．

（1）求*：DF是⊙O的切线；

（2）求FG的长；

（3）求tan∠FGD的值．

【回答】

（1）*：连结OD，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，

∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°，

∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；             ………………………………3分

（2）∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD=CD=6．

在Rt△CDF中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，

在Rt△AFG中，∵∠A=60°，∴FG=AF×sinA=9×；     …………………………6分

（3）过D作DH⊥AB于H．∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD=∠GDH．

在Rt△BDH中，∠B=60°，∴∠BDH=30°，∴BH=BD=3，DH=BH=3．

在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，∴AG=AF=，∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=，

∴tan∠GDH=，∴tan∠FGD=tan∠GDH=．         ………………10分

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题