某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆的一段圆弧(为此圆弧的中点)和线段构成.已知圆的半径为40米,点到的距...
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问题详情:
某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆的一段圆弧(为此圆弧的中点)和线段构成.已知圆的半径为40米,点到的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚内的地块形状为矩形,大棚内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设与所成的角为.
(1)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围;
(2)若大棚内种植*种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且*、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使*、乙两种蔬菜的年总产值最大.
【回答】
(1), ;(2).
【解析】
分析:(1)先根据条件求矩形长与宽,三角形的底与高,再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果,最后根据实际意义确定的取值范围;(2)根据条件列函数关系式,利用导数求极值点,再根据单调*确定函数最值取法.
详解:
解:(1)连结PO并延长交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=10.
过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ,
故OE=40cosθ,EC=40sinθ,
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),
△CDP的面积为×2×40cosθ(40–40sinθ)=1600(cosθ–sinθcosθ).
过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.
令∠GOK=θ0,则sinθ0=,θ0∈(0,).
当θ∈时,才能作出满足条件的矩形ABCD,
所以sinθ的取值范围是.
答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为
1600(cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范围是.
(2)因为*、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,
设*的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),
则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ)
=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈.
设f(θ)= sinθcosθ+cosθ,θ∈,
则.
令,得θ=,
当θ∈(θ0,)时,,所以f(θ)为增函数;
当θ∈(,)时,,所以f(θ)为减函数,
因此,当θ=时,f(θ)取到最大值.
答:当θ=时,能使*、乙两种蔬菜的年总产值最大.
点睛:解决实际应用题的步骤一般有两步:一是将实际问题转化为数学问题;二是利用数学内部的知识解决问题.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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