如图，AB是⊙O的直径，点C，D分别在两个半圆上（不与点A、B重合），AD、BD的长分别是关于x的方程＝0的两...

问题详情：

如图，AB是⊙O的直径，点C，D分别在两个半圆上（不与点A、B重合），AD、BD的长分别是关于x的方程＝0的两个实数根．

（1）求m的值；

（2）连接CD，试探索：AC、BC、CD三者之间的等量关系，并说明理由；

（3）若CD＝，求AC、BC的长．

【回答】

解：（1）由题意，得　b2－4ac≥0．

∴≥0．

化简整理，得　≥0．··················· 2分

∴≤0，即≤0．·················· 3分

又∵≥0，

∴＝5．······························· 4分

（2）AC＋BC＝CD．······················· 6分

理由是：如图，由（1），得　当m＝5时，b2－4ac．

∴ AD＝BD．······························ 7分

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°．

将△ADC绕点D逆时针旋转90°后，得△BDE．

∴△ADC≌△BDE．

∴∠DAC＝∠DBE．

∵∠DAC＋∠DBC＝180°，

∴∠DBE＋∠DBC＝180°．

∴点C、B、E三点共线．

∴△CDE为等腰直角三角形．······················ 9分

∴CE＝CD．

即AC＋BC＝CD．······················· 10分

（3）由（1），得　当m＝5时，b2－4ac．

∴ AD＝BD＝5．

∵∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴AB＝10．    11分

∴AC2＋BC2＝102＝100．　①····················· 11分

由（2）得，AC＋BC＝CD＝7＝14．　②··········· 12分

由① ②解得AC＝6，BC＝8或AC＝8，BC＝6．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题