已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断并用定义*的单调*；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实...

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已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）判断并用定义*的单调*；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【回答】

（1）   （2）在上是增函数，*见解析   （3）

【解析】

（1）利用f（1）+f（﹣1）＝0，即可解得a的值，并利用定义检验即可；

（2）判断：单调递增．设x1∈R，x2∈R且x1＜x2，只要*f（x1）﹣f（x2）＜0，即可；

（3）利用函数f（x）的奇偶*和单调*可得：对任意的，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0恒成立⇔mt2+1＞mt﹣1对任意的恒成立．对m分类讨论和利用二次函数的*质即可得出．

【详解】（1）由f（1）+f（﹣1）＝0，得．

检验：a＝2时，，

∴f（x）+f（﹣x）＝0对x∈R恒成立，即f（x）是奇函数．

（2）判断：单调递增．

*：设x1∈R，x2∈R且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在R上是增函数．

（3）∵f（x）是奇函数，∴不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0⇔f（mt2+1）＞f（mt﹣1），

∵f（x）在R上是增函数，∴对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0恒成立，

即mt2+1＞mt﹣1对任意的t∈R恒成立，

即mt2﹣mt+2＞0对任意的t∈R恒成立．

m＝0时，不等式即2＞0恒成立，合题意；

m≠0时，有即0＜m＜8．

综上：实数m的取值范围为0≤m＜8

【点睛】本题综合考查了函数的奇偶*和单调*、“三个二次的关系”、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．

知识点：*与函数的概念

题型：解答题