已知定义域为的函数是奇函数．（1）求，的值；（2）用定义*在上为减函数；（3）若对于任意，不等式恒成立，求的...

问题详情：

已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求，的值；

（2）用定义*在上为减函数；

（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围．

【回答】

（1），；（2）*见解析；（3）.

【解析】

（1）根据奇函数定义，利用且，列出关于、的方程组并解之得；

（2）根据函数单调*的定义，任取实数、，通过作差因式分解可*出：当时，，即得函数在上为减函数；

（3）根据函数的单调*和奇偶*，将不等式转化为：对任意的都成立，结合二次函数的图象与*质，可得的取值范围．

【详解】

解：（1）为上的奇函数，，可得

又（1）

，解之得

经检验当且时，，满足是奇函数．

（2）由（1）得，

任取实数、，且

则

，可得，且

，即，函数在上为减函数；

（3）根据（1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数．

不等式恒成立，即

也就是：对任意的都成立．

变量分离，得对任意的都成立，

，当时有最小值为

，即的范围是．

【点睛】

本题以含有指数式的分式函数为例，研究了函数的单调*和奇偶*，并且用之解关于的不等式，考查了基本初等函数的简单*质及其应用，属于中档题．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题