如图，已知矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=4，另外两个顶点C，D落在抛物线y=﹣x2+2x上，抛物线的对...

问题详情：

如图，已知矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=4，另外两个顶点C，D落在抛物线y=﹣x2+2x上，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连结直线OC交抛物线的对称轴于点F．

（1）求抛物线的对称轴和直线OC的函数表达式．

（2）将△OEF绕点O旋转得到△OE′F′，当点F′恰好落在直线AD上时，求点E′的坐标．

【回答】

解：（1）根据题意得：

抛物线的对称轴为：x=﹣=4，

∴OE=4

∵AB=4，

∴AE=BE=2

∴点C和点B的横坐标为6，

把x=6代入y=﹣x2+2x得：

y=﹣×62+2×6=3，

即点C的坐标为（6，3），

设直线OC的函数表达式为：y=kx，

把点C（6，3）代入得：

6k=3，

解得：k=，

故直线OC的函数表达式为：y=，

即抛物线的对称轴为：x=4，直线OC的函数表达式为：y=，

（2）①如图1中，当点F′在*线AD上时．作E′N⊥AD于N，设OE′交AD于P．

∵OF=OF′，EF=OA=2，

∴Rt△OFE≌Rt△F′AO，

∴AF′=OE=4，∠OF′A=∠FOE=∠F′OE′，

∴OP=PF′，设OP=PF′=m，

在Rt△PE′F′中，∵PF′2=E′F′2+PE′2，

∴m2=22+（4﹣m）2，

∴m=，

∴E′N==，

∴NF′==，

∴AN=AF′﹣F′N=4﹣=，

∴E′（，），

②如图2中，当点F′在DA的延长线上时，易知点E′在y轴上，E′（0，﹣4）

综上所述，点E的坐标为（，）或（0，﹣4）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题