已知f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调*.(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2...

问题详情：

已知f(x)=lnx+a(1-x).

(1)讨论f(x)的单调*.

(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.

【回答】

【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.

若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.

若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;x∈时,f′(x)<0,

所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.

(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;

当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.

因此f>2a-2等价于lna+a-1<0,令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).

知识点：导数及其应用

题型：解答题