将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函...
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将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象
(1)写出函数f(x)的解析式;
(2)若对任意的x∈[﹣,],f2(x)﹣mf(x)﹣1≤0恒成立,求实数m的取值范围;
(3)求实数a和正整数n,使得F(x)=f(x)﹣a在[0,nπ]上恰有2017个零点.
【回答】
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】(1)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得f(x)的解析式.
(2)令t=f(x)∈[0,1],则g(t)=t2﹣mt﹣1≤0恒成立,再根据二次函数的*质可得g(0)=﹣1≤0,且 g(1)=﹣m≤0,由此解得m的范围.
(3)由题意可得f(x)的图象和直线y=a在[0,nπ]上恰有2017个交点,分类讨论,求得a、n的值.
【解答】解:(1)把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),可得y=sin2x的图象;
再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)=sin2(x+)=sin(2x+)的图象,
故函数f(x)的解析式为 f(x)=sin(2x+).
(2)若对任意的x∈[﹣,],2x+∈[0,],f(x)=sin(2x+)∈[0,1],f2(x)﹣mf(x)﹣1≤0恒成立,
令t=f(x)∈[0,1],则g(t)=t2﹣mt﹣1≤0恒成立,故有g(0)=﹣1≤0,且 g(1)=﹣m≤0,解得m≥0.
(3)∵F(x)=f(x)﹣a在[0,nπ]上恰有2017个零点,故f(x)的图象和直线y=a在[0,nπ]上恰有2017个交点.
在[0,π]上,2x+∈[,].
①当a>1,或a<﹣1时,f(x)的图象和直线y=a在[0,nπ]上无交点.
②当a=1,或a=﹣1时,f(x)的图象和直线y=a在[0,π]仅有一个交点,
此时,f(x)的图象和直线y=a在[0,nπ]上恰有2017个交点,则n=2017.
③当﹣1<a<,或<a<1时,f(x)的图象和直线y=a在[0,π]上恰有2个交点,
f(x)的图象和直线y=a在[0,nπ]上有偶数个交点,不会有2017个交点.
④当a=时,f(x)的图象和直线y=a在[0,π]上恰有3个交点,
此时,n=1008,才能使f(x)的图象和直线y=a在[0,nπ]上有2017个交点.
综上可得,当a=1,或a=﹣1时,n=2017;当a=时,此时,n=1008.
知识点:三角函数
题型:解答题
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