如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(Ⅰ)求*:平面PAC⊥平面PBC;(Ⅱ)若AB=2...
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如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(Ⅰ)求*:平面PAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.
【回答】
*:(Ⅰ)由AB是圆的直径,得,
由平面ABC,平面ABC,得.
又,平面PAC,平面PAC,
所以平面PAC.
因为平面PBC,
所以平面PAC⊥平面PBC……………………………………………6分
(Ⅱ)解法一:过C作CM//AP,则CM⊥平面ABC.
如图(1),以点C为坐标原点,分别
以直线CB,CA,CM为x轴,y轴,z
轴建立空间直角坐标系.
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所以. 又因为PA=1,所以A(0,1, 0),B(,0,0),P(0,1,1).
故.
设平面BCP的法向量为,
则所以
不妨令,则.
因为
设平面ABP的法向量为,
则所以
不妨令,则.
于是.
由图(1)知二面角C-PB-A为锐角, 故二面角C-PB-A的余弦值为…………………………12分
(Ⅱ)解法二:如图(2),过C作CM⊥AB于M,
因为PA⊥平面ABC,平面ABC,
所以PA⊥CM.
又因为,且平面PAB,平面PAB,
所以CM⊥平面PAB.
过M作MN⊥PB于N,连接NC,
由三垂线定理得CN⊥PB,
所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角.
在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,
|
在Rt△PAB中,由AB=2,PA=1,得.
因为Rt△BNM∽Rt△BAP,
所以,所以
所以在Rt△CNM中,,
所以,
所以故二面角C-PB-A的余弦值为…………………………12分
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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