如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A,C的坐标分别为(6,0),(4,3),经过B,C两点的抛...
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如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A,C的坐标分别为(6,0),(4,3),经过B,C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为(1,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若∠AOC的平分线交BC于点E,交抛物线的对称轴于点F,点P是x轴上一动点,当PE+PF的值最小时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点A作OE的垂线交BC于点H,点M,N分别为抛物线及其对称轴上的动点,是否存在这样的点M,N,使得以点M,N,H,E为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点M的坐标,若不存在,说明理由.
【回答】
解:(1)∵平行四边形OABC中,A(6,0),C(4,3)
∴BC=OA=6,BC∥x轴
∴xB=xC+6=10,yB=yC=3,即B(10,3)
设抛物线y=ax2+bx+c经过点B、C、D(1,0)
∴ 解得:
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣
(2)如图1,作点E关于x轴的对称点E',连接E'F交x轴于点P
∵C(4,3)
∴OC=
∵BC∥OA
∴∠OEC=∠AOE
∵OE平分∠AOC
∴∠AOE=∠COE
∴∠OEC=∠COE
∴CE=OC=5
∴xE=xC+5=9,即E(9,3)
∴直线OE解析式为y=x
∵直线OE交抛物线对称轴于点F,对称轴为直线:x=﹣7
∴F(7,)
∵点E与点E'关于x轴对称,点P在x轴上
∴E'(9,﹣3),PE=PE'
∴当点F、P、E'在同一直线上时,PE+PF=PE'+PF=FE'最小
设直线E'F解析式为y=kx+h
∴ 解得:
∴直线E'F:y=﹣x+21
当﹣x+21=0时,解得:x=
∴当PE+PF的值最小时,点P坐标为(,0).
(3)存在满足条件的点M,N,使得以点M,N,H,E为顶点的四边形为平行四边形.
设AH与OE相交于点G(t,t),如图2
∵AH⊥OE于点G,A(6,0)
∴∠AGO=90°
∴AG2+OG2=OA2
∴(6﹣t)2+(t)2+t2+(t)2=62
∴解得:t1=0(舍去),t2=
∴G(,)
设直线AG解析式为y=dx+e
∴ 解得:
∴直线AG:y=﹣3x+18
当y=3时,﹣3x+18=3,解得:x=5
∴H(5,3)
∴HE=9﹣5=4,点H、E关于直线x=7对称
①当HE为以点M,N,H,E为顶点的平行四边形的边时,如图2
则HE∥MN,MN=HE=4
∵点N在抛物线对称轴:直线x=7上
∴xM=7+4或7﹣4,即xM=11或3
当x=3时,yM=﹣×9+×9﹣=
∴M(3,)或(11,)
②当HE为以点M,N,H,E为顶点的平行四边形的对角线时,如图3
则HE、MN互相平分
∵直线x=7平分HE,点F在直线x=7上
∴点M在直线x=7上,即M为抛物线顶点
∴yM=﹣×49+×7﹣=4
∴M(7,4)
综上所述,点M坐标为(3,)、(11,)或(7,4).
知识点:各地中考
题型:综合题
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