已知数列{an}满足an+1=λan+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{an}的通...

问题详情：

已知数列{an}满足an+1=λan+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．

（1）若λ=1，求数列{an}的通项公式；

（2）若λ=2，*数列{}是等差数列，并求数列{an}的前n项和Sn．

【回答】

【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．

【分析】（1）当λ=1时，，由此利用累加法能求出数列{an}的通项公式．

（2）当λ=2时， =，再由，能*数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而an=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，由此利用错位相减法能出数列{an}的前n项和．

【解答】解：（1）当λ=1时，an+1=an+2n（n∈N*），且a1=2．

∴，

∴an=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1

=2+2+22+…+2n﹣1

=2+

=2n．

*：（2）当λ=2时，an+1=2an+2n（n∈N*），且a1=2．

∴，即=，

∵，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，

∴=，

∴an=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，

∴数列{an}的前n项和：

Sn=2•20+3•2+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，①

2Sn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，②

②﹣①，得：

Sn=（n+1）•2n﹣2﹣（2+22+23+…+2n﹣1）

=（n+1）•2n﹣2﹣

=（n+1）•2n﹣2﹣2n+2

=n•2n．

知识点：数列

题型：解答题