如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥A...

问题详情：

如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．

(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；   

(2)若AB=9，BC=6．求PC的长．   

【回答】

（1）解：PC与圆O相切，理由为：  过C点作直径CE，连接EB，如图， ∵CE为直径， ∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°， ∵AB∥DC， ∴∠ACD=∠BAC， ∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD． ∴∠E=∠BCP， ∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°， ∴CE⊥PC， ∴PC与圆O相切； （2）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，  ∴OA⊥AD， ∵BC∥AD， ∴AM⊥BC， ∴BM=CM= BC=3， ∴AC=AB=9， 在Rt△AMC中，AM= =6 ， 设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r， 在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2  ， 即32+（6 ﹣r）2=r2  ， 解得r= ， ∴CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ， ∴BE=2OM= ， ∵∠E=∠MCP， ∴Rt△PCM∽Rt△CEB， ∴ = ， 即 = ， ∴PC= ．                    【考点】切线的判定与*质                【解析】【分析】（1）过C点作直径CE，连接EB，由CE为直径得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根据切线的判断得到结论；（2）根据切线的*质得到OA⊥AD，而BC∥AD，则AM⊥BC，根据垂径定理有BM=CM= BC=3，根据等腰三角形*质有AC=AB=9，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM=6 ；设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r，在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r= ，则CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ，利用中位线*质得BE=2OM= ，然后判断Rt△PCM∽Rt△CEB，根据相似比可计算出PC．   

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题