如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．（1）求*：CD是⊙O的...

问题详情：

如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．

（1）求*：CD是⊙O的切线；

（2）若∠D=30°，BD=2，求图中*影部分的面积．

【回答】

【解答】解：（1）连接OC，

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠OCA，

∵∠BCD=∠BAC，

∴∠BCD=∠OCA，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°

∴∠OCD=90°

∵OC是半径，

∴CD是⊙O的切线

（2）设⊙O的半径为r，

∴AB=2r，

∵∠D=30°，∠OCD=90°，

∴OD=2r，∠COB=60°

∴r+2=2r，

∴r=2，∠AOC=120°

∴BC=2，

∴由勾股定理可知：AC=2

易求S△AOC=×2×1=

S扇形OAC==

∴*影部分面积为﹣

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的*质，等边三角形的*质等知识，需要学生灵活运用所学知识．

知识点：各地中考

题型：解答题