如图，已知直线与x、y轴交于A、B两点，的半径为1，P为上一动点，切于Q点．当线段长取最小值时，直线交y轴于M...

问题详情：

如图，已知直线与x、y轴交于A、B两点，的半径为1，P为上一动点，切于Q点．当线段长取最小值时，直线交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为______________．

【回答】

【解析】

先找到长取最小值时P的位置即为OP⊥AB时，然后画出图形，由于PM即为P到直线a的距离的最大值，求出PM长即可．

【详解】

解：如图，

在直线上，x=0时，y=4，y=0时，x=，

∴OB=4，OA=，

∴，

∴∠OBA=30°，

由切于Q点，可知OQ⊥PQ，

∴，

由于OQ=1，因此当OP最小时长取最小值，此时OP⊥AB，

∴，此时，，

∴，即∠OPQ=30°，

若使P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，

过P作PE⊥y轴于E，

，，

∴，

∵，∴∠OPE=30°，

∴∠EPM=30°+30°=60°，即∠EMP=30°，

∴，

故*为：．

【点睛】

本题考查了圆和函数的综合问题，题解题中含义找到Ｐ点的位置是解题的关键．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：填空题