如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,動點P從點D出發沿DA向終點A運動,同時動點Q從點A出發沿對角線A...
- 習題庫
- 關注:2.48W次
問題詳情:
如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,動點P從點D出發沿DA向終點A運動,同時動點Q從點A出發沿對角線AC向終點C運動.過點P作PE∥DC,交AC於點E,動點P、Q的運動速度是每秒1個單位長度,運動時間爲t秒,當點P運動到點A時,P、Q兩點同時停止運動.
(1)用含有t的代數式表示PE= ;
(2)探究:當t爲何值時,四邊形PQBE爲梯形?
(3)是否存在這樣的點P和點Q,使△PQE爲等腰三角形?若存在,請求出所有滿足要求的t的值;若不存在,請說明理由.
【回答】
解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠D=90°,AB=DC=3,AD=BC=4,
∴在Rt△ACD中,利用勾股定理得:AC==5,
∵PE∥CD,
∴∠APE=∠ADC,∠AEP=∠ACD,
∴△APE∽△ADC,
又∵PD=t,AD=4,AP=AD﹣PD=4﹣t,AC=5,DC=3,
∴==,即==,
∴PE=﹣t+3.
故*爲:﹣t+3;
(2)若QB∥PE,四邊形PQBE是矩形,非梯形,
故QB與PE不平行,
當QP∥BE時,
∵∠PQE=∠BEQ,
∴∠AQP=∠CEB,
∵AD∥BC,
∴∠PAQ=∠BCE,
∴△PAQ∽△BCE,
由(1)得:AE=﹣t+5,PA=4﹣t,BC=4,AQ=t,
∴==,即==,
整理得:5(4﹣t)=16,
解得:t=,
∴當t=時,QP∥BE,而QB與PE不平行,此時四邊形PQBE是梯形;
(3)存在.
分兩種情況:
當Q在線段AE上時:QE=AE﹣AQ=﹣t+5﹣t=5﹣t,
(i)當QE=PE時,5﹣t=﹣t+3,
解得:x=;
(ii)當QP=QE時,∠QPE=∠QEP,
∵∠APQ+∠QPE=90°,∠PAQ+∠QEP=90°,
∴∠APQ=∠PAQ,
∴AQ=QP=QE,
∴t=5﹣t,
解得,t=;
(iii)當QP=PE時,過P作PF⊥QE於F(如圖1),
可得:FE=QE=(5﹣t)=,
∵PE∥DC,∴∠AEP=∠ACD,
∴cos∠AEP=cos∠ACD==,
∵cos∠AEP===,
解得t=;
當點Q在線段EC上時,△PQE只能是鈍角三角形,如圖2所示:
∴PE=EQ=AQ﹣AE,AQ=t,AE=﹣t+5,PE=﹣t+3,
∴﹣t+3=t﹣(﹣t+5),
解得nt=.
綜上,當t=或t=或t=或t=時,△PQE爲等腰三角形.
知識點:相似三角形
題型:解答題
- 文章版權屬於文章作者所有,轉載請註明 https://zhongwengu.com/zh-hant/exercises/4ejm91.html