.设函数。（1）若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围；（2）当时，在区间上的最大值为15，求在区间上的最小...

问题详情：

.设函数。

（1）若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围；

（2）当时，在区间上的最大值为15，求在区间上的最小值。

【回答】

(1)     (2)

【解析】

【分析】

（1）求出导函数，利用f（x）在区间上存在单调递减区间，转化为导函数在上存在函数值小于零的区间，列出不等式求解a的范围即可．

（2）判断导函数的开口方向，对称轴，利用函数f（x）的上单调*，求出a，然后求解最小值．

【详解】解：（1）函数，a∈R．

可得．

由条件f（x）在区间上存在单调递减区间，知导函数在上存在函数值小于零的区间，

只需 ，解得 ，

故a的取值范围为．

（2）的图象开口向上，且对称轴x＝﹣1，

f′（0）＝a＜0，f′（3）＝9+6+a＝15+a＞0，

所以必存在一点x0∈（0，3），使得f′（x0）＝0，

此时函数f（x）在[0，x0]上单调递减，

在[x0，3]单调递增，又由于f（0）＝0，f（3）＝9+9+a＝18+3a＞0＝f（0）

所以f（3）＝18+3a＝15，即a＝﹣1，此时，

由 ，

所以函数 ．

【点睛】本题考查函数的导数的应用，导函数的*质，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．

知识点：导数及其应用

题型：解答题