如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣10经过点A（12，0）和B（a，﹣5），双曲线y＝经过点B．（1）求...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣10经过点A（12，0）和B（a，﹣5），双曲线y＝经过点B．

（1）求直线y＝kx﹣10和双曲线y＝的函数表达式；

（2）点C从点A出发，沿过点A与y轴平行的直线向下运动，速度为每秒1个单位长度，点C的运动时间为t（0＜t＜12），连接BC，作BD⊥BC交x轴于点D，连接CD，

①当点C在双曲线上时，t的值为　   　；

②在0＜t＜6范围内，∠BCD的大小如果发生变化，求tan∠BCD的变化范围；如果不发生变化，求tan∠BCD的值．

③当DC＝时，请直接写出t的值．

【回答】

（1）理由待定系数法即可解决问题；（2）①求出点C坐标即可解决问题；

②如图1中，设直线AB交y轴于M，则M（0，﹣10），A（12，0），取CD的中点K，连接AK、BK．*A、D、B、C四点共圆，可得∠DCB＝∠DAB，推出tan∠DCB＝tan∠DAB＝，即可解决问题；

③分两种情形分别构建方程即可解决问题；

解：（1）∵直线y＝kx﹣10经过点A（12，0）和B（a，﹣5），

∴12k﹣10＝0，∴k＝，∴y＝x﹣10，

∴﹣5＝a﹣10，∴a＝6，∴B（6，﹣5），

∵双曲线y＝经过点B，∴m＝﹣30，∴双曲线解析式为y＝﹣．

（2）①∵AC∥y轴，∴点C的横坐标为12，y＝﹣＝﹣，∴C（12，﹣），∴AC＝，

∴点C在双曲线上时，t的值为．故*为．

②当0＜t＜6时，点D在线段OA上，∠BCD的大小不变．

理由：如图1中，设直线AB交y轴于M，则M（0，﹣10），A（12，0），取CD的中点K，连接AK、BK．

∵∠CBD＝∠DAC＝90°，DK＝KC，∴BK＝AK＝CD＝DK＝KC，

∴A、D、B、C四点共圆，∴∠DCB＝∠DAB，

∴tan∠DCB＝tan∠DAB＝＝＝．

③如图2中，当t＜5时，作BM⊥OA于M，CN⊥BM于N．

则△CNB∽△BMD，∴＝，∴＝，∴DM＝（5﹣t），∴AD＝6+（5﹣t），

∵DC＝，∴[6+（5﹣t）]2+t2＝（）2，

解得t＝或（舍弃）．

当t＞5时，同法可得：[6﹣（t﹣5）]2+t2＝（）2，

解得t＝或（舍弃），

综上所述，满足条件的t的值为t＝或s．

知识点：相似三角形

题型：综合题