已知函数．（1）令，判断g(x)的单调*；（2）当x＞1时，，求a的取值范围．

问题详情：

已知函数．

（1）令，判断g(x)的单调*；

（2）当x＞1时，，求a的取值范围．

【回答】

（1）由，则，

所以（x＞0）．

①当a≤0时，，为的减函数；

②当a＞0时，

若，即时，，为的减函数；

若，即时，由有两根得

在上，为减函数；在上，为增函数；

在上，为减函数．

综上：当时，为的减函数；

当时，在上，为减函数；在上，为增函数；在上，为减函数．

（2）由（1）知，对a讨论如下，

①当a≤0时，，则为（1，＋∞）上的减函数，

则，故为（1，＋∞）的减函数，

由于，所以，即a≤0时满足题意．

②当a＞0时，由于，对其讨论如下：

(A)若，即a≤1，则由（1）知，为（1，＋∞）上的减函数，

则，所以为（1，＋∞）的减函数，

由于，所以，即0＜a≤1时满足题意．

(B)若，即a＞1，则由（1）知，

当时，为（1，＋∞）上的减函数，又，

所以存在，使得在时，，于是为的增函数，

因为，

所以，即1＜a≤时不满足题意．

当时，由于，所以对与1的大小关系讨论如下，

1)如果，即，那么由（1）知，为（1，＋∞）上的减函数，

又，

则存在，使得在时，，于是为的增函数，

又，则，即时不满足题意．

2)如果，即，那么由（1）知，为（1，）上的增函数，

则当时，，于是为的增函数，

又，则，即时不满足题意．

综上所述，a的取值范围为．

【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调*有机结合，设计综合题.

知识点：导数及其应用

题型：解答题