设函数.(Ⅰ)若在x=处的切线与直线4x+y=0平行,求a的值;(Ⅱ)讨论函数的单调区间;(Ⅲ)若函数的图象与...
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设函数.
(Ⅰ)若在x=处的切线与直线4x+y=0平行,求a的值;
(Ⅱ)讨论函数的单调区间;
(Ⅲ)若函数的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为,*.
【回答】
解析:(I)由题知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定义域为(0,+∞),
且.
又∵f(x)的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行,
∴,
解得a=-6.
(Ⅱ),
由x>0,知>0.
①当a≥0时,对任意x>0,>0,
∴此时函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a<0时,令=0,解得,
当时,>0,当时,<0,
此时,函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞).
(Ⅲ)不妨设A(,0),B(,0),且,由(Ⅱ)知,
于是要*<0成立,只需*:即.
∵, ①
, ②
①-②得,
即,
∴,
故只需*,
即*,
即*,变形为,
设,令,
则,
显然当t>0时,≥0,当且仅当t=1时,=0,
∴g(t)在(0,+∞)上是增函数.
又∵g(1)=0,
∴当t∈(0,1)时,g(t)<0总成立,命题得*.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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