设，．已知函数，．（1）求的单调区间；（2）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求*：...

问题详情：

设，．已知函数，．

（1）求的单调区间；

（2）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，

（i）求*：在处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围．

【回答】

（1）递增区间为，，递减区间为；（2）（ⅰ）见解析，（ⅱ）．

【思路分析】（1）先求函数的导数，再根据，求得两个极值点的大小关系，进而可得函数的单调区间；（2）（ⅰ）根据与有共同的切线，根据导数的几何意义建立方程，可求得；（ii）将不等式转化为，再根据前两问可知是极大值点，，由（1）知在内单调递增，在内单调递减，从而在上恒成立，可得，，构造函数，根据单调*可求函数的值域，即得b的取值范围．

当变化时，，的变化情况如下表：

所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．

（2）（i）因为，由题意知，

所以，解得．

所以在处的导数等于0．

另一方面，由于，故，

由（1）知在内单调递增，在内单调递减，

故当时，在上恒成立，

从而在上恒成立．

由，得，．

令，，则，

令，解得（舍去）或．

因为，，，故的值域为．

所以的取值范围是．

【名师点睛】本题考查导数的应用，属于中档问题，第一问的关键是根据条件判断两个极值点的大小，从而避免讨论；第二问要注意切点是公共点，切点处的导数相等，求的取值范围的关键是得出，然后构造函数进行求解．

知识点：导数及其应用

题型：解答题