设函数，（1）当时，求函数图象在处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若不等式对恒成立，求整数的最大值.

问题详情：

设函数，

（1）当时，求函数图象在处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）若不等式对恒成立，求整数的最大值.

【回答】

（1）；（2）单调递增区间是，单调递减区间是；（3）2

【分析】

（1）当时，可得，，求出，，即可求出切线方程；

（2）求出，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调*即可；

（3）当时，不等式恒成立，即：恒成立，等价于当时，恒成立；即对恒成立，令，根据导数求其最值，即可求得*.

【详解】

（1）当时，

可得，

，

可得：，

所求切线方程为

（2）

.

令，则.

当时，；

当时，；

的单调递增区间是，单调递减区间是.

（3）当时，不等式恒成立

即：恒成立，

等价于当时，恒成立；

即对恒成立.

令，，

，

令，，

，

在上单调递增.

又，，

在上有唯一零点，且，

在上单调递减，在上单调递增，

，

，

故整数的最大值为.

【点睛】

本题主要考查了根据导数求函数单调区间和根据不等式恒成立求参数值，解题关键是掌握根据导数求函数单调区间的方法和构造函数求最值的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.

知识点：导数及其应用

题型：解答题