若三个非零实数,,满足:只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实数,,构成“*三组数”.(...
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若三个非零实数,,满足:只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实数,,构成“*三组数”.
(1)实数1,2,3可以构成“*三组数”吗?请说明理由;
(2)若直线与轴交于点,与抛物线交于,两点.
①求*:,,三点的横坐标,,构成“*三组数”;
②若,,求点与原点的距离的取值范围.
【回答】
(1)不能,理由见解析;(2)①见解析;②且
【分析】
(1)由*三组数的定义进行验*即可; (2)①由直线解析式可求得x1=-,联立直线和抛物线解析式消去y,利用一元二次方程根与系数的关系可求得x2+x3=-,x2x3=,再利用*三数组的定义*即可; ②由条件可得到a+b+c=0,可得c=-(a+b),由a>2b>3c可求得的取值范围,令m=,利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数,利用二次函数的*质可求得OP2的取值范围,从而可求得OP的取值范围.
【详解】
解:(1)不能,理由如下:
∵1、2、3的倒数分别为1、、,
∴,,
∴实数1,2,3不可以构成“*三组数”;
(2)①∵、、均不为0,
∴,,都不为0,
∵直线与轴交于点,
∴,解得,
联立直线与抛物线解析式,消去可得,即,
∵直线与抛物线交与,两点,
∴、是方程的两根,
∴,,
∴,
∴,,构成“*三组数”;
②∵,
∴,
∴;
∵,
∴,且,整理可得,
解得,∵
∴,
令,则且,且,
∵
∴当时,随的增大而减小,当时,有最大临界值,当时,有最小临界值,
当时,随的增大而增大,当时,有最小临界值,当时,有最大临界值,
∴且,
∵到原点的距离为非负数,
∴且.
【点睛】
本题为二次函数的综合应用,涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的*质、分类讨论思想及转化思想等知识.在(1)中注意利用*三数组的定义,在(2)①中用a、b、c分别表示出x1,x2,x3是解题的关键,在(2)②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键.本题考查知识点较多,综合*较强,特别是最后一问,难度很大.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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