已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围.

问题详情：

已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围.

【回答】

解：f′(x)=3ax2+6x-1.

(1)当f′(x)<0(x∈R)时，f(x)是减函数.

3ax2+6x-1<0(x∈R)a<0且Δ=36+12a<0a<-3.

所以，当a<-3时，由f′(x)<0,知f(x)(x∈R)是减函数.

(2)当a=-3时，f(x)=-3x3+3x3-x+1=-3(x-)3+,由函数y=x3在R上的单调*，可知当a=-3时，f(x)(x∈R)是减函数.

(3)当a>-3时，在R上存在一个区间，其上有f′(x)>0,所以，当a>-3时，函数f(x)(x∈R)不是减函数.综上，所求a的取值范围是(-∞,-3］.

知识点：导数及其应用

题型：解答题