如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，AB=BC=AC=4，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的...

问题详情：

如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，AB=BC=AC=4，

AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点．

    （1）*：DO⊥底面ABC；

（2）求二面角D-AE-C的余弦值．

【回答】

1）*：∵ AD＝CD＝， O是AC的中点，

∴ DO⊥AC．

∵ 平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC，

∴ DO⊥底面ABC．           ………………………………4分

（2）解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC．

OA＝OC＝OD＝2， OB＝

如图，以点O为坐标原点，OA为x轴，

OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系．

则，，，

，，

         ，，．    ……………6分

设平面ADE的一个法向量为，

则 即

        令，则，所以．       ……………8分

同理可得平面AEC的一个法向量．       ……………10分

．

因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为． ……12分

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题