（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求*：；（2...

问题详情：

（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求*：；

（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；

②如图3，求*MN2=DM·EN．

【回答】

（1）*见解析；（2）①；②*见解析．

【解析】

【分析】

（1）易*△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出；

（2）①根据等腰直角三角形的*质和勾股定理，求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长．从而，由△AMN∽△AGF和△AMN的MN边上高，△AGF的GF边上高，GF=，根据 MN：GF等于高之比即可求出MN；

②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1），从而得出结论．

【详解】

解：（1）在△ABQ和△ADP中，

∵DP∥BQ，

∴△ADP∽△ABQ，

∴，

同理在△ACQ和△APE中，，

∴；

（2）①作AQ⊥BC于点Q．

∵BC边上的高AQ=，

∵DE=DG=GF=EF=BG=CF

∴DE：BC=1：3

又∵DE∥BC

∴AD：AB=1：3，

∴AD=，DE=，

∵DE边上的高为，MN：GF=：，

∴MN：=：，

∴MN=．

故*为：．

②*：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，

∴∠B=∠CEF，

又∵∠BGD=∠EFC，

∴△BGD∽△EFC，

∴，

∴DG•EF=CF•BG，

又∵DG=GF=EF，

∴GF2=CF•BG，

由（1）得，

∴，

∴，

∵GF2=CF•BG，

∴MN2=DM•EN．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和*质以及正方形的*质，是一道综合题目，难度较大．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题