如图,Rt△CEF中,∠C=90°,∠CEF,∠CFE外角平分线交于点A,过点A分别作直线CE,CF的垂线,B...
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如图,Rt△CEF中,∠C=90°,∠CEF,∠CFE外角平分线交于点A,过点A分别作直线CE,CF的垂线,B,D为垂足.
(1)求*:四边形ABCD是正方形.
(2)已知AB的长为6,求(BE+6)(DF+6)的值.
(3)借助于上面问题的解题思路,解决下列问题:若三角形PQR中,∠QPR=45°,一条高是PH,长度为6,QH=2,则HR= .
【回答】
(1)*:作AG⊥EF于G,如图1所示:
则∠AGE=∠AGF=90°,
∵AB⊥CE,AD⊥CF,
∴∠B=∠D=90°=∠C,
∴四边形ABCD是矩形,
∵∠CEF,∠CFE外角平分线交于点A,
∴AB=AG,AD=AG,
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是正方形;
(2)解:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD=6,
在Rt△ABE和Rt△AGE中,,
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL),
∴BE=BG,
同理:Rt△ADF≌Rt△AGF(HL),
∴DF=GF,∴BE+DF=GE+GF=EF,
设BE=x,DF=y,则CE=BC﹣BE=6﹣x,CF=CD﹣DF=6﹣y,EF=x+y,
在Rt△CEF中,由勾股定理得:(6﹣x)2+(6﹣y)2=(x+y)2,
整理得:xy+6(x+y)=36,
∴(BE+6)(DF+6)=(x+6)(y+6)=xy+6(x+y)+36=36+36=72;
(3)解:如图2所示:
把△PQH沿PQ翻折得△PQD,把△PRH沿PR翻折得△PRM,延长DQ、MR交于点G,
由(1)(2)得:四边形PMGD是正方形,MR+DQ=QR,MR=HR,DQ=HQ=2,
∴MG=DG=MP=PH=6,
∴GQ=4,
设MR=HR=a,则GR=6﹣a,QR=a+2,
在Rt△GQR中,由勾股定理得:(6﹣a)2+42=(2+a)2,
解得:a=3,即HR=3;
故*为:3.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题
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