【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点...

问题详情：

【问题】

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．

【探究发现】

（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出*过程；

【数学思考】

（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以*DP＝DB，请完成*过程；

【拓展引申】

（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是*线BD上一点，且AM＝BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC＝BC＝4，请你直接写出BQ的最大值．

【回答】

*：【探究发现】

（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC

∴∠CAB＝∠CBA＝45°

∵CD∥AB

∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD

∴∠DCB＝∠DBC＝45°

∴DB＝DC

即DB＝DP

【数学思考】

（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°

∴∠DCG＝∠DGC＝45°

∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，

∵∠BDP＝∠CDG＝90°

∴∠CDP＝∠BDG，且DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，

∴△CDP≌△GDB（ASA）

∴BD＝DP

【拓展引申】

（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，

∵MH⊥MN，

∴∠AMH+∠NMB＝90°

∵CD∥AB，∠CDB＝90°

∴∠DBM＝90°

∴∠NMB+∠MNB＝90°

∴∠HMA＝∠MNB，且AM＝BN，∠CAB＝∠CBN＝45°

∴△AMH≌△BNQ（ASA）

∴AH＝BQ

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，

∴AB＝4，AC﹣AH＝BC﹣BQ

∴CH＝CQ

∴∠CHQ＝∠CQH＝45°＝∠CAB

∴HQ∥AB

∴∠HQM＝∠QMB

∵∠ACB＝∠HMQ＝90°

∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，

∴∠HCM＝∠HQM

∴∠HCM＝∠QMB，且∠A＝∠CBA＝45°

∴△ACM∽△BMQ

∴

∴

∴BQ＝

∴AM＝2时，BQ有最大值为2．

知识点：各地中考

题型：综合题