已知D是Rt△ABC斜边AB的中点,∠ACB=90°,∠ABC=30°,过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°...
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已知D是Rt△ABC斜边AB的中点,∠ACB=90°,∠ABC=30°,过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°,∠DFE=30°,连接CE并延长CE到P,使EP=CE,连接BE,FP,BP,设BC与DE交于M,PB与EF交于N.
(1)如图1,当D,B,F共线时,求*:
①EB=EP;
②∠EFP=30°;
(2)如图2,当D,B,F不共线时,连接BF,求*:∠BFD+∠EFP=30°.
【回答】
【解答】*(1)①∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴∠A=90°﹣30°=60°,
同理∠EDF=60°,
∴∠A=∠EDF=60°,
∴AC∥DE,
∴∠DMB=∠ACB=90°,
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点,AC∥DM,
∴,
即M是BC的中点,
∵EP=CE,即E是PC的中点,
∴ED∥BP,
∴∠CBP=∠DMB=90°,
∴△CBP是直角三角形,
∴BE=PC=EP;
②∵∠ABC=∠DFE=30°,
∴BC∥EF,
由①知:∠CBP=90°,
∴BP⊥EF,
∵EB=EP,
∴EF是线段BP的垂直平分线,
∴PF=BF,
∴∠PFE=∠BFE=30°;
(2)如图2,延长DE到Q,使EQ=DE,连接CD,PQ,FQ,
∵EC=EP,∠DEC=∠QEP,
∴△QEP≌△DEC(SAS),
则PQ=DC=DB,
∵QE=DE,∠DEF=90°
∴EF是DQ的垂直平分线,
∴QF=DF,
∵CD=AD,
∴∠CDA=∠A=60°,
∴∠CDB=120°,
∴∠FDB=120°﹣∠FDC=120°﹣(60°+∠EDC)=60°﹣∠EDC=60°﹣∠EQP=∠FQP,
∴△FQP≌△FDB(SAS),
∴∠QFP=∠BFD,
∵EF是DQ的垂直平分线,
∴∠QFE=∠EFD=30°,
∴∠QFP+∠EFP=30°,
∴∠BFD+∠EFP=30°.
【分析】(1)①*△CBP是直角三角形,根据直角三角形斜边中线可得结论;
②根据同位角相等可得BC∥EF,由平行线的*质得BP⊥EF,可得EF是线段BP的垂直平分线,根据等腰三角形三线合一的*质可得∠PFE=∠BFE=30°;
(2)如图2,延长DE到Q,使EQ=DE,连接CD,PQ,FQ,*△QEP≌△DEC(SAS),则PQ=DC=DB,由QE=DE,∠DEF=90°,知EF是DQ的垂直平分线,*△FQP≌△FDB(SAS),再由EF是DQ的垂直平分线,可得结论.
知识点:各地中考
题型:综合题
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