如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边A...

问题详情：

如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．

小明的作法

1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．

2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．

3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．

（1）*小明所作的四边形DEFG是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

【回答】

【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形*即可．

（2）求出几种特殊位置的CD的值判断即可．

【解答】（1）*：∵DE＝DG，EF＝DE，

∴DG＝EF，

∵DG∥EF，

∴四边形DEFG是平行四边形，

∵DG＝DE，

∴四边形DEFG是菱形．

（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝＝5，

则CD＝x，AD＝x，

∵AD+CD＝AC，

∴+x＝3，

∴x＝，

∴CD＝x＝，

观察图象可知：0≤CD＜时，菱形的个数为0．

如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．

∵DG∥AB，

∴＝，

∴＝，

解得m＝，

∴CD＝3﹣＝，

如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．

∵DG∥AB，

∴＝，

∴＝，

∴n＝，

∴CG＝4﹣＝，

∴CD＝＝，

观察图象可知：当0≤CD＜或＜CD≤时，菱形的个数为0，当CD＝或＜CD≤时，菱形的个数为1，当＜CD≤时，菱形的个数为2．

【点评】本题考查相似三角形的判定和*质，菱形的判定和*质，作图﹣复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．

知识点：各地中考

题型：解答题