如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时...

问题详情：

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．

（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O．求*：BD＝2DO．

（2）已知点G为AF的中点．

①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．

②若AD＝6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．

【回答】

【分析】（1）如图1中，首先*CD＝BD＝AD，再*四边形ADFC是平行四边形即可解决问题．

（2）①作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．*DG是△ABF的中位线，想办法求出BF即可解决问题．

②分三种情形情形：如图3﹣1中，当∠DEG＝90°时，F，E，G，A共线，作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．设EC＝x．构建方程解决问题即可．如图3﹣2中，当∠EDG＝90°时，取AB的中点O，连接OG．作EH⊥AB于H．构建方程解决问题即可．如图3﹣3中，当∠DGE＝90°时，构造相似三角形，利用相似三角形的*质构建方程解决问题即可．

【解答】（1）*：如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，

∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，

∵CD＝CF，

∴AD＝CF，

∵∠ADC＝∠DCF＝90°，

∴AD∥CF，

∴四边形ADFC是平行四边形，

∴OD＝OC，

∵BD＝2OD．

（2）①解：如图2中，作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．

由题意：BD＝AD＝CD＝7，BC＝BD＝14，

∵DT⊥BC，

∴BT＝TC＝7，

∵EC＝2，

∴TE＝5，

∵∠DTE＝∠EHF＝∠DEF＝90°，

∴∠DET+∠TDE＝90°，∠DET+∠FEH＝90°，

∴∠TDE＝∠FEH，

∵ED＝EF，

∴△DTE≌△EHF（AAS），

∴FH＝ET＝5，

∵∠DDBE＝∠DFE＝45°，

∴B，D，E，F四点共圆，

∴∠DBF+∠DEF＝90°，

∴∠DBF＝90°，

∵∠DBE＝45°，

∴∠FBH＝45°，

∵∠BHF＝90°，

∴∠HBF＝∠HFB＝45°，

∴BH＝FH＝5，

∴BF＝5，

∵∠ADC＝∠ABF＝90°，

∴DG∥BF，

∵AD＝DB，

∴AG＝GF，

∴DG＝BF＝．

②解：如图3﹣1中，当∠DEG＝90°时，F，E，G，A共线，作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．设EC＝x．

∵AD＝6BD，

∴BD＝AB＝2，

∵DT⊥BC，∠DBT＝45°，

∴DT＝BT＝2，

∵△DTE≌△EHF，

∴EH＝DT＝2，

∴BH＝FH＝12﹣x，

∵FH∥AC，

∴＝，

∴＝，

整理得：x2﹣12x+28＝0，

解得x＝6±2．

如图3﹣2中，当∠EDG＝90°时，取AB的中点O，连接OG．作EH⊥AB于H．

设EC＝x，由2①可知BF＝（12﹣x），OG＝BF＝（12﹣x），

∵∠EHD＝∠EDG＝∠DOG＝90°，

∴∠ODG+∠OGD＝90°，∠ODG+∠EDH＝90°，

∴∠DGO＝∠HDE，

∴△EHD∽△DOG，

∴＝，

∴＝，

整理得：x2﹣36x+268＝0，

解得x＝18﹣2或18+2（舍弃），

如图3﹣3中，当∠DGE＝90°时，取AB的中点O，连接OG，CG，作DT⊥BC于T，FH⊥BC于H，EK⊥CG于K．设EC＝x．

∵∠DBE＝∠DFE＝45°，

∴D，B，F，E四点共圆，

∴∠DBF+∠DEF＝90°，

∵∠DEF＝90°，

∴∠DBF＝90°，

∵AO＝OB，AG＝GF，

∴OG∥BF，

∴∠AOG＝∠ABF＝90°，

∴OG⊥AB，

∵OG垂直平分线段AB，∵CA＝CB，

∴O，G，C共线，

由△DTE≌△EHF，可得EH＝DT＝BT＝2，ET＝FH＝12﹣x，BF＝（12﹣x），OG＝BF＝（12﹣x），CK＝EK＝x，GK＝7﹣（12﹣x）﹣x，

由△OGD∽△KEG，可得＝，

∴＝，

解得x＝2，

，综上所述，满足条件的EC的值为6±2或18﹣2或2．

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的*质，平行四边形的判定和*质，全等三角形的判定和*质，相似三角形的判定和*质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

知识点：各地中考

题型：综合题