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如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,2)、B(2,1)和C(-2,-1)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)反比例函数y=
的图象的一个分支经过点C,并且另个分支与抛物线在第一象限相交.①求出k的值;②反比函数y=
的图象是否经过点A和点B,试说明理由;③若点P(a,b)是反比例函数y=
在第三象限的图象上的一个动点,连接AB、PA、PB,请问是否存在这样的一点P使△PAB的面积为3?如果存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
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分析:(1)根据待定系数法将A,B,C三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c中,即可求得抛物线的解析式;(2)①根据C点的坐标即可求出反比例函数的解析式y=
;②由k的值等于2,若A,B两点的横纵坐标相乘等于2,则反比例函数就经过该点.③直接求△PAB的面积不容易,可以过P作PE∥x轴,作AD⊥PE于D,BE⊥PE于E,先求出四边形ABEP的面积,再减去△BPE的面积,即得△PAB的面积,令其等于3,即可求得满足条件的点P.
解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,2)、B(2,1)和C(-2,-1)三点∴
|
a+b+c=2 |
4a+2b+c=1 |
4a-2b+c=-1 |
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解得:
(2分)∴抛物线的解析式为y=-
x2+
+2(3分)(2)①反比例函数y=
的图象的一个分支经过点C(-2,-1)∴k=(-2)×(-1)=2(5分)②由①知k的值为2,所以反比例函数的解析式为y=
,∵1×2=2=k,∴点A(1,2)在反比例函数y=
的图象上,同理点B(2,1)也在反比例函数y=
的图象上,即反比函数y=
的图象经过点A和点B,(8分)③存在(9分)设点P的坐标为(a,b)因为点P(a,b)在y=
上,所以点P的坐标为(a,
)作PE∥x轴,作AD⊥PE,BE⊥PE,垂足分别为D、E.则PD=-a+1,PE=-a+2,AD=-
+2,BE=-
+1(10分)∴S△ADP=
AD•PD=
(-
+2)(-a+1)=-a-
+2∴S梯形ABED=
(AD+BE)•DE=
-
∴S△BPE=
PE•BE=-
a-
+2∴S△PAB=S△ADP+S梯形ABED-S△BPE=-
a-
+
(12分)若△PAB的面积为3则-
a-
+
=3∴a2+3a+2=0∴a1=-1,a2=-2经检验a1=-1,a2=-2都是方程-
a-
+
=3的解所以点P的坐标为(-1,-2)或(-2,-1)(13分)
点评:本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式,同时在求解三角形的面积时,要灵活的运用割补法进行求解.
【回答】
分析:(1)根据待定系数法将A,B,C三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c中,即可求得抛物线的解析式;(2)①根据C点的坐标即可求出反比例函数的解析式y=
;②由k的值等于2,若A,B两点的横纵坐标相乘等于2,则反比例函数就经过该点.③直接求△PAB的面积不容易,可以过P作PE∥x轴,作AD⊥PE于D,BE⊥PE于E,先求出四边形ABEP的面积,再减去△BPE的面积,即得△PAB的面积,令其等于3,即可求得满足条件的点P.
解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,2)、B(2,1)和C(-2,-1)三点∴
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a+b+c=2 |
4a+2b+c=1 |
4a-2b+c=-1 |
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解得:
(2分)∴抛物线的解析式为y=-
x2+
+2(3分)(2)①反比例函数y=
的图象的一个分支经过点C(-2,-1)∴k=(-2)×(-1)=2(5分)②由①知k的值为2,所以反比例函数的解析式为y=
,∵1×2=2=k,∴点A(1,2)在反比例函数y=
的图象上,同理点B(2,1)也在反比例函数y=
的图象上,即反比函数y=
的图象经过点A和点B,(8分)③存在(9分)设点P的坐标为(a,b)因为点P(a,b)在y=
上,所以点P的坐标为(a,
)作PE∥x轴,作AD⊥PE,BE⊥PE,垂足分别为D、E.则PD=-a+1,PE=-a+2,AD=-
+2,BE=-
+1(10分)∴S△ADP=
AD•PD=
(-
+2)(-a+1)=-a-
+2∴S梯形ABED=
(AD+BE)•DE=
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∴S△BPE=
PE•BE=-
a-
+2∴S△PAB=S△ADP+S梯形ABED-S△BPE=-
a-
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(12分)若△PAB的面积为3则-
a-
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=3∴a2+3a+2=0∴a1=-1,a2=-2经检验a1=-1,a2=-2都是方程-
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=3的解所以点P的坐标为(-1,-2)或(-2,-1)(13分)
点评:本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式,同时在求解三角形的面积时,要灵活的运用割补法进行求解.
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