如图,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=﹣2x3+3x(x≥0)交于O,A,直线x=t(0<t<...
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问题详情:
如图,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=﹣2x3+3x(x≥0)交于O,A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B,D.
(Ⅰ)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);
(Ⅱ)讨论f(t)的单调*,并求f(t)的最大值.
【回答】
考点:
根据实际问题选择函数类型;利用导数研究函数的单调*;利用导数求闭区间上函数的最值.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
(Ⅰ)先求出两曲线的交点O、A坐标,由直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B,D表示出BD的长,利用四边形ABOD的面积等于三角形ABO的面积+三角形OBD的面积;即可表示函数f(t)的关系式;
(Ⅱ)令f'(t)=0解得t,分区间讨论f(t)的增减*得到哦f(t)的最大值及此时t的值即可.
解答:
解:(Ⅰ)由得交点O、A的坐标分别是(0,0),(1,1).,
即.
(Ⅱ).令f'(t)=0解得.
当,从而f(t)在区间上是增函数;
当,从而f(t)在区间上是减函数.
所以当时,f(t)有最大值为.
点评:
考查学生根据实际问题选择函数关系的能力,以及利用导数研究函数增减*,利用导数求闭区间上函数最值的能力.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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