（2012•安岳县模拟）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．过点B作直线EF⊥BC，点P为...

问题详情：

（2012•安岳县模拟）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．过点B作直线EF⊥BC，点P为线段AB上一动点（与点A，B均不重合），过点P作MN∥BC并交AC于点M，交EF于点N，作PD⊥PC，交直线EF于点D．（1）若点D在线段NB上（如图1）求*：△PCM≌△DPN；（2）若点D在线段NB延长线上（如图2）且BP=BD，求AP的长；（3）设AP=x，且P、C、D、B为顶点的四边形的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式．

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分析：（1）易知四边形MCBN是矩形，△PNB是等腰直角三角形．矩形的对边MC=NB．等腰直角△PNB的两直角边PN=NB，即PN=CM；然后根据同角的余角相等*得∠MCP=∠NPB；最后由全等三角形的判定定理ASA*得△PCM≌△DPN；（2）易知四边形MCBN是矩形，△PNB、△AMP是等腰直角三角形．根据全等三角形（△MCP≌△NDP）的对应边相等、勾股定理来求线段AP的长度．（3）需要分类讨论：若点D在线段NB上（如图1），写出y与x的函数关系式；若点D在线段NB延长线上（如图2），写出y与x的函数关系式．
解答：（1）*：∵∠ACB=90°，EF⊥BC，∴AC∥EF．又∵MN∥BC，∴四边形MCBN是矩形，∴∠PMC=∠DNP=90°，MC=NB．∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CBA=∠CAB=45°．∴∠PBN=∠NPB=45°，∴NP=NB．∴MC=NP．又∵PD⊥PC，∠MCP=∠DPN（同角的余角相等）．在△PCM与△DPN中，

∠PMC=∠DNP MC=NP ∠MCP=∠DPN

，∴△PCM≌△DPN（ASA）；解：（2）∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．∴AB=

2

．同（1）：四边形MCBN是矩形，△PCM≌△DPN（ASA），则MC=NB，MP=ND．∵∠A=∠PBN=45°，∴∠MPB=∠A=45°，∠PBN=∠BPN=45°，∴AM=PM，PN=NB，∴AP=

2

AM，BP=

2

BN=

2

MC．∵BP=BD，∴ND=NB+BD=MC+

2

MC=MP=AM，即1-AM+

2

（1-AM）=AM，解得，AM=

2

2

，∴AP=

2

AM=1；（3）①若点D在线段NB上（如图1），S四边形PCBD=S矩形MCBN-2S△PMC=1×（1-

2

2

x）-2×

1

2

×（1-

2

2

x）×

2

2

x=

1

2

x2-

2

x+1，即y=

1

2

x2-

2

x+1；②若点D在线段NB延长线上（如图2），连接CD．S四边形PCBD=S梯形MCDN-S△PMC-S△PNB=

1

2

（MC+AM）•BC-

1

2

AM•MC-

1

2

MC•MC=

1

2

×1×1-

1

2

×

2

2

x×（1-

2

2

x）-

1

2

（1-

2

2

x）（1-

2

2

x）=

2

4

x，即y=

2

4

x．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定与*质，全等三角形的判定与*质等知识点．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解．

【回答】

分析：（1）易知四边形MCBN是矩形，△PNB是等腰直角三角形．矩形的对边MC=NB．等腰直角△PNB的两直角边PN=NB，即PN=CM；然后根据同角的余角相等*得∠MCP=∠NPB；最后由全等三角形的判定定理ASA*得△PCM≌△DPN；（2）易知四边形MCBN是矩形，△PNB、△AMP是等腰直角三角形．根据全等三角形（△MCP≌△NDP）的对应边相等、勾股定理来求线段AP的长度．（3）需要分类讨论：若点D在线段NB上（如图1），写出y与x的函数关系式；若点D在线段NB延长线上（如图2），写出y与x的函数关系式．
解答：（1）*：∵∠ACB=90°，EF⊥BC，∴AC∥EF．又∵MN∥BC，∴四边形MCBN是矩形，∴∠PMC=∠DNP=90°，MC=NB．∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CBA=∠CAB=45°．∴∠PBN=∠NPB=45°，∴NP=NB．∴MC=NP．又∵PD⊥PC，∠MCP=∠DPN（同角的余角相等）．在△PCM与△DPN中，

∠PMC=∠DNP MC=NP ∠MCP=∠DPN

，∴△PCM≌△DPN（ASA）；解：（2）∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．∴AB=

2

．同（1）：四边形MCBN是矩形，△PCM≌△DPN（ASA），则MC=NB，MP=ND．∵∠A=∠PBN=45°，∴∠MPB=∠A=45°，∠PBN=∠BPN=45°，∴AM=PM，PN=NB，∴AP=

2

AM，BP=

2

BN=

2

MC．∵BP=BD，∴ND=NB+BD=MC+

2

MC=MP=AM，即1-AM+

2

（1-AM）=AM，解得，AM=

2

2

，∴AP=

2

AM=1；（3）①若点D在线段NB上（如图1），S四边形PCBD=S矩形MCBN-2S△PMC=1×（1-

2

2

x）-2×

1

2

×（1-

2

2

x）×

2

2

x=

1

2

x2-

2

x+1，即y=

1

2

x2-

2

x+1；②若点D在线段NB延长线上（如图2），连接CD．S四边形PCBD=S梯形MCDN-S△PMC-S△PNB=

1

2

（MC+AM）•BC-

1

2

AM•MC-

1

2

MC•MC=

1

2

×1×1-

1

2

×

2

2

x×（1-

2

2

x）-

1

2

（1-

2

2

x）（1-

2

2

x）=

2

4

x，即y=

2

4

x．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定与*质，全等三角形的判定与*质等知识点．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解．

知识点：

题型：