如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,E,F分别是AC,BC上的点...
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如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,E,F分别是AC,BC上的点(点E不与端点A,C重合),且AE=CF,连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使GO=OD,连接DE,DF,GE,GF.
(1)求*:四边形EDFG是正方形;
(2)当点E在什么位置时,四边形EDFG的面积最小?并求四边形EDFG面积的最小值
【回答】
【解答】(1)*:连接CD,如图1所示.
∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴∠A=∠DCF=45°,AD=CD.
在△ADE和△CDF中,,
∴△ADE≌△CDF(SAS),
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF.
∵∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°,
∴△EDF为等腰直角三角形.
∵O为EF的中点,GO=OD,
∴GD⊥EF,且GD=2OD=EF,
∴四边形EDFG是正方形;
(2)解:过点D作DE′⊥AC于E′,如图2所示.
∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=4,
∴DE′=BC=2,AB=4,点E′为AC的中点,
∴2≤DE<2(点E与点E′重合时取等号).
∴4≤S四边形EDFG=DE2<8.
∴当点E为线段AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,该最小值为4.
知识点:各地中考
题型:解答题
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