已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M...

问题详情：

已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设＝PM・PE，＝PN・PF，解答下列问题：

（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断与的大小关系，并说明理由；

（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数，使得？若存在，请求出满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由。

【回答】

解：（1） ∵ABCD是矩形，MN∥AD，EF∥CD

∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形

∴＝PM・PE＝，＝PN・PF＝

又∵BD是对角线

∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC

∵，

∴＝

∴

（2）成立，理由如下：

∵ABCD是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD

∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形

仿（1）可*

过E作EH⊥MN于点H，则；

∴

同理可得

又∵∠MPE＝∠FPN＝∠A

∴

∴PM・PE＝PN・PF，即

（3）方法1：存在，理由如下：

由（2）可知，

 ∴

又∵，即，

而，

∴

即

∴，

故存在实数或，使得

方法2：存在，理由如下：

连结AP，设△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面积分别为、、、，

即，

即    ∴

∴

即

∴

∴，

故存在实数或，使得

知识点：平行四边形

题型：计算题