设函数.(1)若,求的单调区间;(2)若当时恒成立,求的取值范围.
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问题详情:
设函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)若当时恒成立,求的取值范围.
【回答】
【详解】(1)a=0时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.
当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加
(2)f′(x)=ex-1-2ax.由(1)知ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,从而当1-2a≥0,即a≤时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0.由ex>1+x(x≠0)得e-x>1-x(x≠0),从而当a>时,f′(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),故当x∈(0,ln2a)时, f′(x)<0,而f(0)=0,于是当x∈(0,ln2a)时,f(x)<0,
综上可得a的取值范围为(-∞,].
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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