如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速...

问题详情：

如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．

（1）∠PBD的度数为　   　，点D的坐标为　   　（用t表示）；

（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

【回答】

解：（1）如图1，

由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）

∴AO=PQ．

∵四边形OABC是正方形，

∴AO=AB=BC=OC，

∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．

∵DP⊥BP，

∴∠BPD=90°．

∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．

∵AO=PQ，AO=AB，

∴AB=PQ．

在△BAP和△PQD中，

∴△BAP≌△PQD（AAS）．

∴AP=QD，BP=PD．

∵∠BPD=90°，BP=PD，

∴∠PBD=∠PDB=45°．

∵AP=t，

∴DQ=t．

∴点D坐标为（t，t）．

故*为：45°，（t，t）．

（2）①若PB=PE，则t=0，符合题意

②若EB=EP，

则∠PBE=∠BPE=45°．

∴∠BEP=90°．

∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC．

在△POE和△ECB中，

∴△POE≌△ECB（AAS）．

∴OE=CB=OC．

∴点E与点C重合（EC=0）．

∴点P与点O重合（PO=0）．

∵点B（﹣4，4），

∴AO=CO=4．

此时t=AP=AO=4．

③若BP=BE，

在Rt△BAP和Rt△BCE中，

∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．

∴AP=CE．

∵AP=t，

∴CE=t．

∴PO=EO=4﹣t．

∵∠POE=90°，

∴PE=

=（4﹣t）．

延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．

在△FAB和△ECB中，

∴△FAB≌△ECB．

∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．

∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，

∴∠ABP+∠EBC=45°．

∴∠FBP=∠FBA+∠ABP

=∠EBC+∠ABP=45°．

∴∠FBP=∠EBP．

在△FBP和△EBP中，

∴△FBP≌△EBP（SAS）．

∴FP=EP．

∴EP=FP=FA+AP

=CE+AP．

∴EP=t+t=2t．

∴（4﹣t）=2t．

解得：t=4﹣4

∴当t为0秒或4秒或（4﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形．

（3）∵EP=CE+AP，

∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE

=AO+CO

=4+4

=8．

∴△POE周长是定值，该定值为8．

知识点：勾股定理

题型：解答题