给出定义：若x∈（m﹣，m+]（其中m为整数），则m叫做实数x的“亲密的整数”，记作{x}=m，在此基础上给出...

问题详情：

给出定义：若x∈（m﹣，m+]（其中m为整数），则m叫做实数x的“亲密的整数”，记作{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：

①函数y=f（x）在x∈（0，1）上是增函数；

②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈z）对称；

③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；

④当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）﹣lnx有两个零点．

其中正确命题的序号是（　　）

A．②③④   B．②③ C．①② D．②④

【回答】

A【考点】2K：命题的真假判断与应用．

【分析】①x∈（0，1）时，可得f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣|，从而可得函数的单调*；

②利用新定义，可得{k﹣x}=k﹣m，从而可得f（k﹣x）=|k﹣x﹣{k﹣x}|=|k﹣x﹣（k﹣m）|=|x﹣{x}|=f（x）；

③验*{x+1}={x}+1=m+1，可得f（x+1）=|（x+1）﹣{x+1}|=|x﹣{x}|=f（x）；

④由上，在同一坐标系中画出函数图象，即可得到当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）﹣lnx有两个零点．

【解答】解：①x∈（0，1）时，∴f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣|，函数在（﹣∞，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，故①不正确；

②∵x∈（m﹣，m+]，∴k﹣m﹣＜k﹣x≤k﹣m+（m∈Z）

∴{k﹣x}=k﹣m

∴f（k﹣x）=|k﹣x﹣{k﹣x}|=|k﹣x﹣（k﹣m）|=|x﹣{x}|=f（x）

∴函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈z）对称，故②正确；

③∵x∈（m﹣，m+]，∴﹣＜（x+1）﹣（m+1）≤，

∴{x+1}={x}+1=m+1，∴f（x+1）=|（x+1）﹣{x+1}|=|x﹣{x}|=f（x），

∴函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；

④由题意，当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）﹣lnx有两个零点．

∴正确命题的序号是②③④

知识点：*与函数的概念

题型：选择题