定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的...

问题详情：

定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．已知函数，．

（1）求函数f（x）在区间上的所有上界构成的*；

（2）若函数g（x）在[0，+∞）上是以7为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

【回答】

【解析】

（1）首先求出函数在区间的单调*，再根据单调*即可求出函数的值域，从而求出函数在区间上的所有上界构成的*.

（2）将问题转化为在上恒成立，通过换元法求出相应的最值即可求出的取值范围.

【详解】（1），

由复合函数的单调*法则易知，函数在上单调递减，

∴函数在区间上单调递减，

∴函数在区间上的值域为，

∴，

∴函数在区间上所有上界构成的*为.

（2）由题意知，在上恒成立，即，

则，

∴在上恒成立，

设， ，.

易知，在上为增函数，故，

由知，当时，，为减函数，

故，

综上，实数的取值范围为.

【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题，同时考查了函数的单调*和函数的值域问题，换元法求函数的值域为解题的关键，属于难题.

知识点：基本初等函数I

题型：解答题