对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆D,同时满足:①f(x)在[m,n]上是单调函数;②...
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对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆D,同时满足:
①f(x)在[m,n]上是单调函数;
②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n].
则称[m,n]是该函数的“等域区间”.
(1)求*:函数不存在“等域区间”;
(2)已知函数(a∈R,a≠0)有“等域区间”[m,n],求实数a的取值范围.
【回答】
(1)*:设[m,n]是已知函数定义域的子集.
∵x≠0,∴[m,n]⊆(﹣∞,0),或[m,n]⊆(0,+∞),
故函数在[m,n]上单调递增.
若[m,n]是已知函数的“等域区间”,则
故m、n是方程的同号的相异实数根.
∵x2﹣3x+5=0无实数根,
∴函数不存在“等域区间”.(6分)
(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集,
∵x≠0,∴[m,n]⊆(﹣∞,0)或[m,n]⊆(0,+∞),
故函数在[m,n]上单调递增.
若[m,n]是已知函数的“等域区间”,则
故m、n是方程,即a2x2﹣(2a+2)x+1=0的同号的相异实数根.
∵,∴m,n同号,故只需△=(﹣(2a+2))2﹣4a2=8a+4>0,
解得,
∴实数a的取值范围为
知识点:*与函数的概念
题型:解答题
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