设函数（其中）．（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数的零点个数．

问题详情：

设函数（其中）．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，讨论函数的零点个数．

【回答】

：（1）函数的定义域为，，

①当时，令，解得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是，

②当时，令，解得或，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

③当时，，在上单调递增，

④当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减；

（2），①当时，由（1）知，当时，，此时无零点，

当时，，

又在上单调递增，所以在上有唯一的零点，

故函数在定义域上有唯一的零点，

②当时，由（1）知，当时，，此时无零点；

当时，，，

令，则，

因为在上单调递增，，

所以在上单调递增，得，即，所以在上有唯一的零点，故函数在定义域上有唯一的零点．

综全①②知，当时函数在定义域上有且只有一个零点．

知识点：导数及其应用

题型：解答题