问题呈现如图，四边形ABCD是矩形，AB=20，BC=10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G=9...

问题详情：

问题呈现

如图，四边形ABCD是矩形，AB=20，BC=10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G=90°，点M在线段AB上，且AM=a，点P沿折线AD-DG运动，点Q沿折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB.设PQ与AB之间的距离为x.

（1）若a=12.

①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，

则x的值为____2_____；

②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；

（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围.

【回答】

【考点】：矩形，等腰直角三角形，梯形面积，动点问题，函数思想，

分段函数的最值

【解析】：

解：（1）①由题意得：PQ=20  AM=a=12

S四AMQP= 解得x=3

②当P在AD上时，即0≤x≤10，S四AMQP=

S四AMQP=

当x=10时，S四AMQP最大值=160

当P在DG上，即10≤x≤20，S四AMQP=

QP=40-2x，S四AMQP==-x2+26x

当x=13时，S四AMQP最大值=169

综上：x=13时，S四AMQP最大值=169

（2）由上知：PQ=40-2x

S四AMQP=

∵10≤x≤20

对称轴为：x= 开口向下

∴离对称轴越远取值越小

当≤15时，

S四AMQP最小值=10a≥50 得a≥5

∴5≤a≤20

当＞15时

S四AMQP最小值=40+a≥50 得a≥20

综上所述：5≤a≤20

【*】：（1）3 ；（2）169；（3）5≤a≤20

知识点：各地中考

题型：综合题