如图1,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,D为OB边上一点,过D点作DC⊥AB交AB于C,连接A...
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如图1,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,D为OB边上一点,过D点作DC⊥AB交AB于C,连接AD,E为AD的中点,连接OE、CE.
观察猜想
(1)①OE与CE的数量关系是 ;
②∠OEC与∠OAB的数量关系是 ;
类比探究
(2)将图1中△BCD绕点B逆时针旋转45°,如图2所示,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出*;若不成立,请说明理由;
拓展迁移
(3)将△BCD绕点B旋转任意角度,若BD=,OB=3,请直接写出点O、C、B在同一条直线上时OE的长.
【回答】
【解答】(1)①如图1中,
∵CD⊥AB,
∴∠ACD=90°,
∵∠AOD=90°,AE=DE,
∴OE=AD,EC=AD,
∴OE=EC.
②∵EO=EA,EC=EA,
∴∠EAO=∠EOA,∠EAC=∠ECA,
∵∠OED=∠EAO+∠EOA=2∠EAO,∠DEC=∠EAC+∠ECA=2∠EAC,
∵OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠OAB=45°,
∴∠OEC=2(∠OAE+∠EAC)=90°,
∴∠OEC=2∠OAB,
故*为OE=EC,∠OEC=2∠OAB.
(2)结论成立.
理由:如图2中,延长OE到H,使得EH=OE,连接DH,CH,OC.
由题意△AOB,△BCD都是等腰直角三角形,
∴∠A=∠ABO=∠DBC=∠CDB=45°,
∵AE=ED,∠AEO=∠DEH,OE=EH,
∴△AEO≌△DEH(SAS),
∴AO=DH,∠A=∠EDH=45°,
∴∠CDH=∠OBC=90°,
∵OA=OB,BC=CD,
∴DH=OB,
∴△HDC≌△OBC(SAS),
∴CH=OC,∠HCD=∠OCB,
∴∠HCO=∠DCB=90°,
∴∠COE=∠CHE=45°,
∵OE=EH,
∴CE⊥OE,
∴∠OEC=90°,
∴∠OEC=2∠OAB,OE=EC.
(3)①如图3﹣1中,当点C落在OB上时,连接EC.
由(1)(2)可知△OEC是等腰直角三角形,
∵BC=BD=1,OB=3,
∴OC=OB﹣BC=3﹣1=2,
∴OE=OC=.
②如图3﹣2中,当点C落在OB的延长线上时,连接EC.同法可得OE=OC=(3+1)=2,
综上所述,OE的长为或2.
知识点:图形的旋转
题型:综合题
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