如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA=5．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另...

问题详情：

如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA=5．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB=AC． （1）求*：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．

【回答】

（1）*：如图，连结OB，则OP=OB， ∴∠OBP=∠OPB=∠CPA， AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC， 而OA⊥l，即∠OAC=90°， ∴∠ACB+∠CPA=90°， 即∠ABP+∠OBP=90°， ∴∠ABO=90°， OB⊥AB， 故AB是⊙O的切线； （2）解：由（1）知：∠ABO=90°， 而OA=5，OB=OP=3， 由勾股定理，得：AB=4， 过O作OD⊥PB于D，则PD=DB， ∵∠OPD=∠CPA，∠ODP=∠CAP=90°， ∴△ODP∽△CAP， ∴， 又∵AC=AB=4，AP=OA-OP=2， ∴， ∴， ∴． 【解析】

（1）连接OB，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由OP=OB得∠OPB=∠OBP，由OA⊥l得∠OAC=90°，则∠ACB+∠APC=90°，而∠APC=∠OPB=∠OBP，所以∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，于是根据切线的判定定理得到直线AB是⊙O的切线； （2）根据勾股定理求得AB=4，PC=2，过O作OD⊥PB于D，则PD=DB，通过*得△ODP∽△CAP，得到，求得PD，即可求得PB． 本题考查了切线的判定和*质，勾股定理的应用研究三角形相似的判定和*质，熟练掌握*质定理是解题的关键．

知识点：各地中考

题型：解答题