如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF...

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如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．给出下列判断： ①∠EAG=45°； ②若DE=a，则AG∥CF； ③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2； ④若CF=FG，则DE=（-1）a； ⑤BG•DE+AF•GE=a2．其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）

【回答】

①②④⑤ 【解析】

解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=AD=a， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE，∠DAE=∠FAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴∠BAG=∠FAG， ∴∠GAE=∠GAF+∠EAF=90°=45°，故①正确； ②∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，设BG=GF=x，∵DE=a， ∴EF=a， ∴CG=a-x，在Rt△EGC中，EG=x+a，CE=a，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，解得x=a，此时BG=CG=a， ∴GC=GF=a， ∴∠GFC=∠GCF，且∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GCF， ∴2∠AGB=2∠GCF， ∴∠AGB=∠GCF， ∴AG∥CF， ∴②正确； ③若E为CD的中点，则DE=CE=EF=，设BG=GF=y，则CG=a-y， CG2+CE2=EG2，即，解得，y=a， ∴BG=GF=，CG=a-， ∴， ∴，故③错误； ④当CF=FG，则∠FGC=∠FCG， ∵∠FGC+∠FEC=∠FCG+∠FCE=90°， ∴∠FEC=∠FCE， ∴EF=CF=GF， ∴BG=GF=EF=DE， ∴EG=2DE，CG=CE=a-DE， ∴，即， ∴DE=（-1）a，故④正确； ⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得，（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2，整理得bc=a2-ab-ac， ∴=，即S△CEG=BG•DE， ∵S△ABG=S△AFG，S△AEF=S△ADE， ∴， ∵S五边形ABGED+S△CEG=S正方形ABCD， ∴BG•DE+AF•EG=a2，故⑤正确．故*为：①②④⑤． ①由折叠得AD=AF=AB，再由HL定理*Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正误； ②设BG=GF=x，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，求得BG=a，进而得GC=GF，得∠GFC=∠GCF，再*∠AGB=∠GCF，便可判断正误； ③设BG=GF=y，则CG=a-y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得△CGF的面积，便可判断正误； ④*∠FEC=∠FCE，得EF=CF=GF，进而得EG=2DE，CG=CE=a-DE，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误； ⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得bc=a2-ab-ac，再得△CEG的面积为BG•DE，再由五边形ABGED的面积加上△CEG的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误．本题主要考查正方形的*质及全等三角形的判定和*质，勾股定理，利用折叠得到线段相等及角相等、正方形的*质的运用是解题的关键．涉及内容多而复杂，难度较大．