如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长...

问题详情：

如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．

（1）求*：△A1DE∽△B1EH；

（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．

【回答】

解：（1）*：由折叠的*质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，

∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．

又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°，

∴∠DEA1＝∠EHB1，

∴△A1DE∽△B1EH；

（2）结论：△DEF是等边三角形；

理由如下：

∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，

∴点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，

在△A1DE和△A1DF中

，

∴△A1DE≌△A1DF（SAS），

∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，

又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．

∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，

∴∠EDF＝60°，

∴△DEF是等边三角形；

（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，

理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），

∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，

∴△DGG'是等边三角形，

∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，

∵∠DGF＝150°，

∴∠G'GF＝90°，

∴G'G2+GF2＝G'F2，

∴DG2+GF2＝GE2，

知识点：勾股定理

题型：解答题