如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC...

问题详情：

如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M． ①求*：DC是⊙O的切线． ②若AC=4MC且AC=8，求图中*影部分的面积． ③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．

【回答】

解：①过点O作OG⊥CD，垂足为G， 在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分∠BCD， ∵OH⊥BC，OG⊥CD， ∴OH=OG， ∴OH、OG都为圆的半径，即DC是⊙O的切线； ②∵AC=4MC且AC=8， ∴OC=2MC=4， MC=OM=2， ∴OH=2， 在直角三角形OHC中，HO=CO， ∴∠OCH=30°，∠COH=60°， ∴HC=， S*影=S△OCH-S扇形OHM=CH•OH-OH2=2-； ③作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P， ∵PM=NP， ∴PH+PM=PH+PN=HN，此时PH+PM最小， ∵ON=OM=OH， ∠MOH=60°， ∴∠MNH=30°， ∴∠MNH=∠HCM， ∴HN=HC=2， 即：PH+PM的最小值为2， 在Rt△NPO中， OP=ONtan30°=， 在Rt△COD中， OD=OCtan30°=， 则PD=OP+OD=2． 【解析】

①作OH⊥BC，*OH为圆的半径，即可求解； ②利用S*影=S△OCH-S扇形OHM=CH•OH-OH2，即可求解； ③作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，PH+PM=PH+PN=HN，此时PH+PM最小，即可求解． 本题为圆的综合运用题，涉及到圆切线的*质及应用、点的对称*、解直角三角形等知识，其中③，通过点的对称*确定PH+PM最小，是本题的难点和关键．

知识点：各地中考

题型：解答题